Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có dây cung

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh IKEN là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)

+) Chứng minh \(\Delta MEI \sim \Delta MNK\) (g.g) để suy ra đpcm

+) Chứng minh tứ giác NIQP nội tiếp kết hợp a) để suy ra \(\angle QIP = \angle EIK\) từ đó ta được đpcm

Giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng: Tứ giác IKEN nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left( O \right)\)đường kính MN có M là điểm chính giữa cung nhỏ CD

\( \Rightarrow MN \bot CD\) tại I \( \Rightarrow \angle NID = {90^o}\)

\(E \in \left( O \right) \Rightarrow \angle MEN = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác IKEN có: \(\angle NID + \angle MEN = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác IKEN nội tiếp. (dhnb)

b) Chứng minh: \(EI.MN = NK.ME\).

Tứ giác IKEN nội tiếp (cmt) nên \(\angle MEI = \angle MNK\) (góc nội tiếp cùng chắn cung IK )

Xét \(\Delta MEI\) và \(\Delta MNK\) có:

\(\begin{array}{l}\angle E\;\;chung\\\angle MEI = \angle MNK\;\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MEI \sim \Delta MNK\;\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{EI}}{{NK}} = \frac{{ME}}{{MN}} \Rightarrow EI.MN = NK.ME\;\;\;\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

c) NK cắt MP tại Q. Chứng minh: IK là phân giác của \(\angle EIQ\). 

Xét \(\Delta MNP\) có: \(ME \bot NP\,\;\;\left( {cmt} \right)\,;\,\,PI \bot MN\;\;\left( {cmt} \right)\,\,;\,\,ME \cap PI = \left\{ K \right\}\)

\( \Rightarrow K\) là trực tâm \(\Delta MNP \Rightarrow NK \bot MP\)  tại  \(Q \Rightarrow \angle NQP = {90^o}\) 

Xét tứ giác NIQP  có \(\angle NIP = \angle NQP = {90^o}\) mà 2 góc này cùng nhìn đoạn NP

\( \Rightarrow \) Tứ giác NIQP nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \angle QNP = \angle QIP\)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PQ)   (1)

Tứ giác IKEN nội tiếp (cm a) \( \Rightarrow \angle QNP = \angle EIK\) (cùng chắn EK)   (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle QIP = \angle EIK\)\( \Rightarrow \) IK là phân giác của \(\angle EIQ\;\;\;\left( {dpcm} \right).\)

d) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di động trên cung lớn CD (E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường cố định.

Ta có: \(ME \bot NP\;\left( {cmt} \right);\,\,CH \bot NP\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow ME//CH\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \angle DEM = \angle DHC\) (đồng vị) ; 

\(\angle MEC = \angle ECH\) (so le trong)

Mà \(\angle DEM = \angle MEC\) (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

\( \Rightarrow \angle EHC = \angle ECH\;\;\left( { = \angle DEM = \angle MEC} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta EHC\) cân tại E \(\Rightarrow\) EN là trung trực của CH  (tính chất)

Mặt khác dễ dàng chứng minh IN  là trung trực của CD  \(\left( {IN \bot CD,\;\;IC = ID} \right).\)

\( \Rightarrow \) N là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta DCH\) \( \Rightarrow H \in \left( {N;NC} \right)\)

Mà N, C, D cố định \( \Rightarrow \) H thuộc đường tròn tâm N cố định bán kính NC không đổi (đpcm)