Từ điểm \(M\) nằm ở ngoài đường tròn \(\left( O,R...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 a) Áp dụng định lí Py-ta-go và công thức cosin trong tam giác vuông.

b) Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng \({{180}^{o}}\) thì nội tiếp đường tròn

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

d) Gọi D là giao điểm của AN và OM. Sử dụng tam giác đồng dạng để lập tỉ số giữa HD , DM với các cạnh khác, từ đó suy ra chúng bằng nhau, suy ra AN đi qua trung điểm D của HM.

Giải chi tiết:

a)     Nếu cho \(OM=R\sqrt{5}\)  Tính độ dài đoạn \(MA\) theo \(R\) và số đo \(\angle AOM\) (làm tròn tới độ)

Xét tam giác OAM  vuông tại A có:

+)  \(A{{M}^{2}}+O{{A}^{2}}=O{{M}^{2}}\Rightarrow AM=\sqrt{O{{M}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{5}R \right)}^{2}}-{{R}^{2}}}=2R\) (định lí Py-ta-go)

+)  \(\cos \left( \angle AOM \right)=\frac{OA}{OM}=\frac{R}{R\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow \angle AOM=\arccos \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)\approx {{63}^{o}}\)

b)     Chứng minh bốn điểm \(M,A,O,B\) thuộc một đường tròn.

Xét đường tròn \(\left( O,R \right)\) có: MA,MB là hai tiếp tuyến với A,B là tiếp điểm

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
OA \bot AM\\
OB \bot BM
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\angle OAM = {90^o}\\
\angle OBM = {90^o}
\end{array} \right.\)

Xét tứ giác MAOB có: \(\angle OAM+\angle OBM={{90}^{o}}+{{90}^{o}}={{180}^{o}}\)  suy ra tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn, suy ra bốn điểm M, O, A, B cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

c) Gọi \(AC\) là đường kính của đường tròn\(\left( O \right)\)  tia \(CH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(N\)  Chứng minh: \(4OH.OM=A{{C}^{2}}\)

Có \(OA=OB\) (cùng là bán kính), suy ra O thuộc trung trực của AB.

Xét đường tròn \(\left( O,R \right)\) có: MA, MB là hai tiếp tuyến với A, B là tiếp điểm, suy ra \(MA=MB\)  suy ra M thuộc trung trực của AB.

Từ hai điều trên ta được OM  là trung trực của AB, suy ra OM vuông góc với AB tại H.

+) Xét tam giác vuông OAM vuông tại A có AH  là đường cao

\(\Rightarrow O{{A}^{2}}=OH.OM\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

+) Mà có: \(OA=\frac{1}{2}AC\) (do OA là bán kính, AC là đường kính)

\(\Rightarrow {{\left( \frac{1}{2}AC \right)}^{2}}=OH.OM\Rightarrow A{{C}^{2}}=4.OH.OM\) (đpcm).

d) Chứng minh rằng đường thẳng \(AN\) đi qua trung điểm của \(MH\)

Gọi D là giao điểm của AN và OM

Xét tam giác ADM và tam giác CHA có:

+) \(\angle ACN=\angle MAD\) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AN )

+) \(\angle AMD=\angle CAH\) (do cùng phụ với \(\angle HAM\))

\(\Rightarrow \Delta ADM\sim \Delta CHA\ \ \left( g-g \right)\Rightarrow \frac{DM}{HA}=\frac{AD}{HC}\Rightarrow DM=AD.\frac{HA}{HC}\)                                    (1)

Có AB vuông góc với OM (cmt) \(\Rightarrow \angle AHD={{90}^{o}}\)

Có \(\angle ANC\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow \angle ANC={{90}^{o}}\)

Xét hai tam giác vuông HDN và ADH  có chung \(\angle NDH\)

\(\Rightarrow \Delta HDN\sim \Delta ADH\ \left( g-g \right)\Rightarrow \frac{HD}{AD}=\frac{HN}{AH}\Rightarrow HD=AD.\frac{HN}{AH}\)                                     (2)

Xét tam giác AHC và tam giác NHB có:

+) \(\angle AHC=\angle NHB\) (hai góc đối đỉnh)

+) \(\angle CAH=\angle HNB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC )

\(\Rightarrow \Delta AHC\sim \Delta NHB\ \ \left( g-g \right)\Rightarrow \frac{HN}{HA}=\frac{HB}{HC}\)

Mà có: \(HA=HB\) (do OM là trung trực của AB) \(\Rightarrow \frac{HN}{HA}=\frac{HA}{HC}\)  (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra \(HD=DM\)  suy ra D là trung điểm của HM, suy ra AN đi qua trung điểm của HM  (đpcm).

Chọn C