Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh CEDF là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)

+)  Chứng minh hai tam giác chứa các cạnh trong hệ thức đồng dạng từ đó suy ra đpcm

+) Chứng minh \(IC \bot OC\) bằng cách tính \(\angle IC{\rm{O}} = {90^o}\)

Giải chi tiết:

1) Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp.

Ta có \(\angle ACB = \angle ADB = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle FCE = \angle FDE = {90^o}\)

Tứ giác CEDF có: \(\angle FCE + \angle FDE = {180^o}\)

Mà hai góc này là hai góc đối của tứ giác \(CEDF.\)

\( \Rightarrow \) CEDF là tứ giác nội tiếp (dhnb).

2) Chứng minh \(FC.FA = FD.FB\).

Xét \(\Delta FCB\) và \(\Delta FDA\) có:

\(\begin{array}{l}\angle F\;\;chung\\\angle FCB = \angle FDA = {90^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta FCB \sim \Delta FDA\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{FC}}{{FD}} = \frac{{FB}}{{FA}}\)  (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow FC.FA = FD.FB\;\;\left( {dpcm} \right).\)  

3) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

Ta có: \(OA = OC = R \Rightarrow \Delta OAC\) cân tại O \( \Rightarrow \angle OAC = \angle OCA\)  (hai góc kề đáy của tam giác cân)  (1)

Lại có: I là trung điểm của EF, \(\Delta ECF\) vuông tại \(C\)

\( \Rightarrow IC = IF = IE\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \Delta ICF\) cân tại I  \( \Rightarrow \angle ICF = \angle IFC\) (hai góc kề đáy của tam giác cân)   (2)

Xét \(\Delta FAB\) có \(AD \bot BF\,\, ; \,\,BC \bot AF\,\,;\,\,AD \cap BC = \left\{ E \right\}\)

\( \Rightarrow \) E là trực tâm của \(\Delta FAB\) \( \Rightarrow FE \bot AB\) (ba đường cao của tam giác cắt nhau tại 1 điểm).

Gọi FE vuông góc với AB tại H

Xét \(\Delta FHA\) vuông tại H \( \Rightarrow \angle HFA + \angle HAF = {90^o}\) hay \(\angle IFC + \angle OAC = {90^o}\;\;\left( 3 \right)\)

Từ (1),  (2) và (3) \( \Rightarrow \angle ICF + \angle OCA = \angle IFC + \angle OAC = {90^o}\)  (cmt)

\( \Rightarrow \angle ICO = {90^o} \Rightarrow IC \bot OC\)

Kết hợp \(C \in \left( O \right) \Rightarrow \) IC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\). (đpcm)

4) Hỏi khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện bài toán, E thuộc đường tròn cố định nào?

Chứng minh tương tự c) ta cũng được \(ID \bot OD\)

\( \Rightarrow ICOD\) là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).

Lại có \(OC = OD = R\) \( \Rightarrow ICOD\) là hình vuông cạnh R (dhnb)

\( \Rightarrow IC = OD = R\)

Mà \(IE = IC\left( {cmt} \right) \Rightarrow IE = R.\)

Gọi T  là điểm chính giữa cung AB không chứa C (T cố định).

\( \Rightarrow OT \bot AB\) mà  \(FE \bot AB\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow OT//FE\) hay \(OT//IE\) (từ vuông góc đến song song)

Mặt khác \(OT = IE = R\) \( \Rightarrow IETO\) là hình bình hành (dhnb)

\( \Rightarrow TE = OI = R\sqrt 2 \) (\(ICOD\) là hình vuông cạnh R)

Vậy E  thuộc \(\left( {T;R\sqrt 2 } \right).\)