Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( Oxy \right),\) cho...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Lập bảng giá trị các điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) sau đó vẽ đồ thị hàm số.

b) Thay tọa độ điểm E vào công thức hàm số của đường thẳng (d)  để tìm m.

c) Lập phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y=2\) và đồ thị hàm số \(\left( P \right).\)

+) Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \) phương trình hoành độ có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0.\)

+) Giải phương trình hoành độ giao điểm để từ đó tìm tọa độ hai điểm A, B.

+) Dựa vào hình vẽ để tính diện tích tam giác OAB.

Giải chi tiết:

Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( Oxy \right),\) cho parabol \(\left( P \right):\ \ y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\ y=\left( 2m-1 \right)x+5.\)

a) Vẽ đồ thị của (P).

Ta có bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm \(E\left( 7;\ 12 \right).\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(E\left( 7;\ 12 \right)\Rightarrow 12=\left( 2m-1 \right).7+5\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow 12=14m-7+5 \\  & \Leftrightarrow 14m=14 \\  & \Leftrightarrow m=1. \\ \end{align}\)

Vậy \(m=1\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

c) Đường thẳng \(y=2\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm \(A,\ B.\) Tìm tọa độ của \(A,\ B\) và tính diện tích tam giác \(OAB.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y=2\) và parabol \(\left( P \right)\) là:

\(\frac{1}{2}{x^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 2\\
x = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A\left( { - 2;\;2} \right)\\
B\left( {2;\;2} \right)
\end{array} \right..\)

Đường thẳng \(y=2\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( -2;\ 2 \right)\) và \(B\left( 2;\ 2 \right).\)

Gọi \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(y=2\) và trục \(Oy\Rightarrow H\left( 0;\ 2 \right).\)

Khi đó ta có: \({{S}_{AOB}}={{S}_{AOH}}+{{S}_{OBH}}.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{S}_{AOH}}=\frac{1}{2}AH.OH=\frac{1}{2}.\left| {{x}_{A}} \right|.\left| {{y}_{H}} \right|=\frac{1}{2}.2.2=2 \\  & {{S}_{BOH}}=\frac{1}{2}HB.OH=\frac{1}{2}.\left| {{x}_{B}} \right|.\left| {{y}_{H}} \right|=\frac{1}{2}.2.2=2 \\ \end{align} \right..\)

\({{S}_{AOB}}={{S}_{AOH}}+{{S}_{OBH}}=2+2=4.\)

Vậy diện tích tam giác \(OAB\) là \(4\ \left( dvdt \right).\)

Chọn D