Cho các số \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(0 \le x,\,...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng bổ đề:  \(x + y + z \le xyz + 2\)  để chứng minh bắt đẳng thức.

Giải chi tiết:

Cho các số \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1\). Chứng minh rằng:

\(\frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} \le 2\)

Ta chứng minh bổ đề: \(x + y + z \le xyz + 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow xyz - x - y - z + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow xyz - yz - x + 1 + yz - y - z + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow yz\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) + y\left( {z - 1} \right) - \left( {z - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {yz - 1} \right) + \left( {z - 1} \right)\left( {y - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - yz} \right) + \left( {1 - z} \right)\left( {1 - y} \right) \ge 0\,\,\,\,\forall \,0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1.\end{array}\)

Với mọi \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}VT = \frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} \le \frac{x}{{1 + xyz}} + \frac{y}{{1 + xyz}} + \frac{z}{{1 + xyz}}\\ \Leftrightarrow VT \le \frac{{x + y + z}}{{1 + xyz}} \le \frac{{2 + xyz}}{{1 + xyz}} = 2.\\ \Leftrightarrow VT \le 2.\end{array}\)

Vậy \(\frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} < 2.\)