Cho nửa đường tròn \((O;R)\) có đường kính AB. Vẽ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh các tam giác đồng dạng hoặc các công thức tính diện tích tam giác để từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp.

Ta có: \(C\)  là trung điểm của đoạn \(AM \Rightarrow OC \bot AM = \left\{ C \right\}\,\,hay\,\,\angle OCM = {90^0}\) (mối quan hệ giữa đường kính và dây cung).

Có \(AB \bot BN = \left\{ B \right\}\,\,hay\,\,\angle OBN = {90^0}\) (d  là tiếp tuyến của đường tròn tại B).

Xét tứ giác \(OBNC\) ta có: \(\angle OCN + \angle CBN = {180^0}\)

\( \Rightarrow CBNC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)

b) Gọi E là hình chiếu của N trên đoạn AD. Chứng minh rằng ba điểm N, O, E thẳng hàng và \(\frac{{NE.AD}}{{ND}} = 2R\).

Xét \(\Delta ADN\) ta có: \(AB,\,\,DO\) là hai đường cao của tam giác.

Mà \(AB \cap CD = \left\{ O \right\} \Rightarrow O\)  là trực tâm của \(\Delta AND\)

Lại có \(NE\) là đường cao còn lại của \(\Delta AND\)  nên ba điểm N, O, E thẳng hàng. (đpcm)

Ta có:  \({S_{\Delta AND}} = \frac{1}{2}AB.ND = \frac{1}{2}NE.AD\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow AB.ND = NE.AD\\ \Leftrightarrow AB = \frac{{NE.AD}}{{ND}} = 2R\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Chứng minh rằng \(CA.CN = CO.CD\)

Ta có: \(\angle CAO = \angle MBN\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BM)

Lại có: \(MB//CD\,\,\left( { \bot CM} \right) \Rightarrow \angle NBM = \angle CDN\,\,\) (hai góc đồng vị)

\( \Rightarrow \angle CAO = \angle CDN\,\,\left( { = \angle MBN} \right).\)

Xét \(\Delta CAO\) và \(\Delta CDN\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle CAO = \angle CDN\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ACO = \angle NCD = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta CAO \sim \Delta CDN\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{CA}}{{CD}} = \frac{{CO}}{{CN}} \Leftrightarrow CA.CN = CD.CO\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

d) Xác định vị trí của điểm M để \(2AM + AN\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABN\) vuông tại \(B\) và có đường cao \(MB\) ta có:

\(AM.AN = A{B^2} = {(2R)^2} = 4{R^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(2AM + AN \ge 2\sqrt {2AM.AN}  = 2\sqrt {8{R^2}}  = 4\sqrt 2 R\) (không đổi).

Vậy Min \(Min\left( {2AM + AN} \right) = 4\sqrt 2  \Leftrightarrow AM = \frac{{AN}}{2} \Leftrightarrow M\) là điểm chính giữa cung \(AB.\).