Cho biểu thức: \(A = \left( {\frac{1}{{x + \sqrt x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Dựa vào kết quả rút gọn biểu thức ở câu a), giải bất phương trình \(A > \frac{1}{2}.\) Đối chiếu với điều kiện và kết luận nghiệm \(x.\)

Giải chi tiết:

Cho biểu thức: \(A = \left( {\frac{1}{{x + \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x  + 1}},\) với \(x > 0.\)

a) Rút gọn biểu thức: \(A.\)

Điều kiện: \(x > 0.\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{x + \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x  + 1}}\\\;\;\; = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}\\\;\;\; = \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\\\;\;\; = \frac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{x}\\\;\;\; = \frac{{1 - x}}{x}.\end{array}\)

b) Tìm các giá trị của \(x\) để \(A > \frac{1}{2}.\)

Điều kiện: \(x > 0.\)

Ta có: \(A > \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{x} > \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{x} - \frac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2 - 2x - x}}{{2x}} > 0\\ \Leftrightarrow 2 - 3x > 0\;\;\;\left( {do\;\;2x > 0\;\;\forall x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x < \frac{2}{3}.\end{array}\)

Vậy với \(0 < x < \frac{2}{3}\)  thì \(A > \frac{1}{2}.\)

Chọn A.