a)      Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(3{x^...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Tiến hành rút y theo x rồi tìm điều kiện chia hết.

b)      Chứng minh lần lượt biểu thức chia hết cho 2 và 3.

Giải chi tiết:

a)      Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(3{x^2} - 2xy + y - 5x + 2 = 0\)

Ta có:

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}3{x^2} - 2xy + y - 5x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 5x + 2 = 2xy - y\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 5x + 2 = y\left( {2x - 1} \right)\\ \Rightarrow y = \frac{{3{x^2} - 5x + 2}}{{2x - 1}}\,\,\left( {Do\,\,x \in Z \Rightarrow 2x - 1 \ne 0} \right)\end{array}\)

Do x, y nguyên nên:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {3{x^2} - 5x + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\\3{\left( {2x - 1} \right)^2}\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\,\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {4(3{x^2} - 5x + 2) - 3{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ { - 20x + 8 - 3\left( { - 4x + 1} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( { - 8x + 5} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ { - 8x + 5 + 4\left( {2x - 1} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 1\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 1\\2x - 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 0\\x = 0 \Rightarrow y =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy các nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right)\) của phương trình đã cho là \(\left( {1;0} \right);\,\,\left( {0; - 2} \right)\).

b)     Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh nếu \({a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}}\) chia hết cho 6 thì \({a^{2018}} + {b^{2019}} + {c^{2020}}\) cũng chia hết cho 6.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^{2018}} + {b^{2019}} + {c^{2020}} - \left( {{a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}}} \right)\\ = {a^{2016}}\left( {{a^2} - 1} \right) + {b^{2017}}\left( {{b^2} - 1} \right) + {c^{2018}}\left( {{c^2} - 1} \right)\\ = {a^{2015}}.a.\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) + {b^{2016}}.b.\left( {b - 1} \right)\left( {b + 1} \right) + {c^{2017}}.c.\left( {c - 1} \right)\left( {c + 1} \right)\end{array}\)

Ta có: tích 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 6 do: có 1 số chẵn và 1 số chia hết cho 3.

Do vậy:

\(a\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right);\,\,b\left( {b - 1} \right)\left( {b + 1} \right);\,\,c\left( {c - 1} \right)\left( {c + 1} \right)\) đều chia hết cho 6 nên:

\(\left[ {{a^{2018}} + {b^{2019}} + {c^{2020}} - \left( {{a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}}} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,6\)

Mà \(\left( {{a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}}} \right)\,\, \vdots \,\,6\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \left( {{a^{2018}} + {b^{2019}} + {c^{2020}}} \right)\,\, \vdots \,\,6\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.