a) Tìm tất cả giá trị của hệ số \(a\) để hàm số \(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Hàm số \(y=ax+b\) đồng biến \(\Leftrightarrow a>0.\)

+) Thay tọa độ của điểm A vào công thức đồ thị hàm số để tìm a.

b) Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét và biểu thức đề bài cho để tìm m.

Giải chi tiết:

a) Tìm tất cả giá trị của hệ số \(a\) để hàm số \(y=ax+2\) đồng biến và đồ thị của hàm số đi qua điểm \(A\left( 1;\ 3 \right).\)

Hàm số \(y=ax+2\) đồng biến \(\Leftrightarrow a>0.\)

Đồ thị hàm số \(y=ax+2\) đi qua điểm \(A\left( 1;\ 3 \right)\Leftrightarrow 3=a+2\Leftrightarrow a=1\ \ \left( tm \right).\)

Vậy \(a=1.\)

b) Cho đường thẳng \(\left( d \right):\ \ y=\left( 3-2m \right)x-{{m}^{2}}\) và parabol \(\left( P \right):\ y={{x}^{2}}.\)

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({{x}_{1}},\ \ {{x}_{2}}\) và \({{x}_{1}}\left( {{x}_{2}}-1 \right)+2\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và  \(\left( P \right)\) là: \({{x}^{2}}=\left( 3-2m \right)x-{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x+{{m}^{2}}=0\ \ \ \ \left( * \right)\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 2m-3 \right)}^{2}}-4{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow 9-12m>0\Leftrightarrow m<\frac{3}{4}.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3-2m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}} \\\end{align} \right..\)

Theo đề bài ta có: \({{x}_{1}}\left( {{x}_{2}}-1 \right)+2\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - {x_1} + 2{x_1} - 2{x_2} - 2{x_1} + {x_2} = 0\\
\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - 3 + 2m = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m - 1 = 0\\
m + 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\;\;\left( {ktm} \right)\\
m = - 3\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..\)

Vậy \(m=-3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A