Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng \(\left...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Khi m thay đổi thì 2mx luôn = 0 khi x = 0 do đó luôn đi qua điểm (0; 1). Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) để suy ra điều phải chứng minh.

2) Sử dụng Viet để tìm ra tọa độ của B và C. Lưu ý hình chiếu của M, N xuống trục Ox thì sẽ được điểm có hoành độ tương tự và tung độ = 0.

Giải chi tiết:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 2mx + 1\)  (m là tham số) và parabol \(\left( P \right):\;\;y = {x^2}.\)

1) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua A cố định thuộc Oy và d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

Gọi \(A\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) là điểm cố định thuộc \(\left( d \right):\;y = 2mx + 1.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_0} = 2m{x_0} + 1\;\;\forall m\\ \Leftrightarrow 2m{x_0} = {y_0} - 1\;\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{y_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{y_0} = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;\;1} \right).\end{array}\)

Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua điểm \(A\left( {0;\;1} \right)\) cố định thuộc trục \(Oy.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là:

\(2mx + 1 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 1 = 0\;\;\;\left( * \right)\)

Phương trình có: \(\Delta  = 4{m^2} + 4 > 0,\forall m \in R\)

Do đó phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m.\)

2) Gọi M, N là giao điểm của d và (P), B và C là hình chiếu của M, N xuống Ox. Chứng minh: \(OB.OC = O{A^2}\) và tam giác ABC vuông tại A.

Vì \(M\left( {{x_M};\;{y_M}} \right),\;\;N\left( {{x_N};\;{y_N}} \right)\)  là hai giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right) \Rightarrow {x_M},\;{x_N}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\)

Áp dụng định lý Vi-et với phương trình \(\left( * \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 2m\\{x_M}{x_N} =  - 1\end{array} \right..\)

Ta có B và C lần lượt là hình chiếu của M và N trên  trục Ox nên ta có: \(B\left( {{x_M};\,\,0} \right);\,\,\,C\left( {{x_N};\,\,0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow OB = \sqrt {x_M^2} ,\;\;OC = \sqrt {x_N^2}  \Rightarrow OB.OC = \sqrt {{{\left( {{x_M}{x_N}} \right)}^2}}  = 1\\\;\;\;\;\;OA = \sqrt {{1^2}}  = 1\\ \Rightarrow OB.OC = O{A^2}.\;\;\;\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = 1 + x_M^2;\\A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} = 1 + x_N^2\\B{C^2} = {\left( {OB + OC} \right)^2} = {\left( {\left| {{x_M}} \right| + \left| {{x_N}} \right|} \right)^2} = {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2}\\ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = 1 + x_M^2 + 1 + x_N^2 = 2 + {\left( {{x_M} + {x_N}} \right)^2} - 2{x_M}{x_N}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 2 + {(2m)^2} + 2 = 4{m^2} + 4.\\B{C^2} = {({x_M} + {x_N})^2} - 4{x_M}{x_N} = {(2m)^2} + 4 = 4{m^2} + 4.\\ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}.\end{array}\)

Theo định lý Py-ta-go đảo ta có tam giác ABC vuông tại A.