a) Giải phương trình: \(2\sqrt x  - \sqrt {3x + 1}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Giải phương trình \(2\sqrt x  - \sqrt {3x + 1}  = x - 1.\)

Cách 1:

Điều kiện \(x \ge 0\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\sqrt x \\b = \sqrt {3x + 1} \end{array} \right.a,b \ge 0\)

Khi đó ta có: \({a^2} = 4x;{b^2} = 3x + 1 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = x - 1\) . Phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}a - b = {a^2} - {b^2} \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a + b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sqrt x  = \sqrt {3x + 1} \\2\sqrt x  + \sqrt {3x + 1}  = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 3x + 1\\4x + 3x + 1 + 4\sqrt {x\left( {3x + 1} \right)}  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {tm} \right)\\7x + 4\sqrt {x\left( {3x + 1} \right)}  = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {tm} \right)\\4\sqrt {x\left( {3x + 1} \right)}  =  - 7x\,\,\left( {do\,\,x \ge 0 \Rightarrow x = 0tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {tm} \right)\\x = 0\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0; x = 1.

Cách 2:

a) Giải phương trình: \(2\sqrt x  - \sqrt {3x + 1}  = x - 1.\)

Điều kiện: \(x \ge 0.\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;2\sqrt x  - \sqrt {3x + 1}  = x - 1\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x  - x + 1 = \sqrt {3x + 1} \\ \Leftrightarrow 4\sqrt x  - 2x + 2 = 2\sqrt {3x + 1} \\ \Leftrightarrow 3x + 1 + 1 - 2x + 4\sqrt x  + 2 = 3x + 1 + 2\sqrt {3x + 1}  + 1\\ \Leftrightarrow x + 4\sqrt x  + 4 = 3x + 1 + 2\sqrt {3x + 1}  + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  + 2} \right)^2} = {\left( {\sqrt {3x + 1}  + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 2 = \sqrt {3x + 1}  + 1\\\sqrt x  + 2 =  - \left( {\sqrt {3x + 1}  + 1} \right)\;\;\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt x  + 1 = \sqrt {3x + 1} \\ \Leftrightarrow x + 2\sqrt x  + 1 = 3x + 1\\ \Leftrightarrow 2x - 2\sqrt x  = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sqrt x  = 0\\\sqrt x  - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\left( {tm} \right)\\x = 1\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {0;\;1} \right\}.\)

b) Cho hai số thực dương \(a,\;b\) thỏa mãn \(a + b + 3ab = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \sqrt {1 - {a^2}}  + \sqrt {1 - {b^2}}  + \frac{{3ab}}{{a + b}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}1 - {a^2} + \frac{8}{9} \ge 2\sqrt {\frac{8}{9}\left( {1 - {a^2}} \right)}  = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\sqrt {1 - {a^2}} \\1 - {b^2} + \frac{8}{9} \ge 2\sqrt {\frac{8}{9}\left( {1 - {b^2}} \right)}  = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\sqrt {1 - {b^2}} \end{array} \right.\)

Khi đó \(\frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\left( {\sqrt {1 - {a^2}}  + \sqrt {1 - {b^2}} } \right) \le \frac{{17}}{9} - {a^2} + \frac{{17}}{9} - {b^2} = \frac{{34}}{9} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right).\)

Ta có \(\frac{{1 - a - b}}{3} = ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 3{\left( {a + b} \right)^2} + 4\left( {a + b} \right) - 4 \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge \frac{2}{3}.\)

Và \({a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} \ge \frac{1}{2}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{2}{9}\) suy ra \(\frac{{34}}{9} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le \frac{{32}}{9} \Rightarrow \sqrt {1 - {a^2}}  + \sqrt {1 - {b^2}}  \le \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\)

Lại có \(\frac{{3ab}}{{a + b}} = \frac{{1 - a - b}}{{a + b}} = \frac{1}{{a + b}} - 1\) mà \(a + b \ge \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b}} \le \frac{3}{2}\) suy ra \(\frac{{3ab}}{{a + b}} \le \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}.\)

Do đó \(P = \sqrt {1 - {a^2}}  + \sqrt {1 - {b^2}}  + \frac{{3ab}}{{a + b}} \le \frac{{4\sqrt 2 }}{3} + \frac{1}{2}.\) Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = \frac{1}{3}.\) Vậy \({P_{\max }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} + \frac{1}{2}.\)