Cho số nguyên dương \(n\), tính tổng \(S = \frac{{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xây dựng công thức tổng quát của tổng là: \(\frac{{k.{\rm{C}}_n^k}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\)

Chú ý rằng \(\frac{{k.{\rm{C}}_n^k}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \left( {\frac{2}{{k + 2}} - \frac{1}{{k + 1}}} \right){\rm{C}}_n^k\)

Từ đây ta tính hiệu của 2 biểu thức.

Biến đổi biểu thức sau đó tìm \(n.\)

Giải chi tiết:

Với \(k,\;n \in N*,\;0 \le k \le n\)  ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{k + 1}}{\rm{C}}_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right).k!.\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {k + 1} \right)!.\left( {n + 1 - \left( {k + 1} \right)} \right)!}} = \frac{1}{{n + 1}}{\rm{C}}_{n + 1}^{k + 1}\\ \Rightarrow \frac{1}{{k + 1}}{\rm{C}}_n^k = \frac{1}{{n + 1}}{\rm{C}}_{n + 1}^{k + 1}\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Áp dụng đẳng thức (*) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{k.{\rm{C}}_n^k}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \left( {\frac{2}{{k + 2}} - \frac{1}{{k + 1}}} \right){\rm{C}}_n^k = \frac{{2.{\rm{C}}_n^k}}{{k + 2}} - \frac{{{\rm{C}}_n^k}}{{k + 1}} = 2.\frac{{k + 1}}{{k + 2}}.\frac{{{\rm{C}}_n^k}}{{k + 1}} - \frac{{{\rm{C}}_n^k}}{{k + 1}}\\ = 2.\left( {1 - \frac{1}{{k + 2}}} \right).\frac{{{\rm{C}}_n^k}}{{k + 1}} - \frac{{{\rm{C}}_n^k}}{{k + 1}} = \frac{{{\rm{C}}_n^k}}{{k + 1}} - 2.\frac{{{\rm{C}}_{n + 1}^{k + 1}}}{{\left( {k + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{\rm{C}}_{n + 1}^{k + 1}}}{{n + 1}} - 2.\frac{{{\rm{C}}_{n + 2}^{k + 2}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\end{array}\)

Suy ra

\(S = \frac{1}{{n + 1}}\left( { - {\rm{C}}_{n + 1}^2 + {\rm{C}}_{n + 1}^3 - {\rm{C}}_{n + 1}^4 + ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}{\rm{C}}_{n + 1}^{n + 1}} \right) - \frac{2}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left( { - {\rm{C}}_{n + 2}^3 + {\rm{C}}_{n + 2}^4 + ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}{\rm{C}}_{n + 2}^{n + 2}} \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l} - {\rm{C}}_{n + 1}^2 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}{\rm{C}}_{n + 1}^{n + 1} = \left( { - {\rm{C}}_{n + 1}^0 + {\rm{C}}_{n + 1}^1 - {\rm{C}}_{n + 1}^2 + ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}{\rm{C}}_{n + 1}^{n + 1}} \right){\rm{ + C}}_{n + 1}^0 - {\rm{C}}_{n + 1}^1\\ =  - {\left( {1 - 1} \right)^{n + 1}} + 1 - \left( {n + 1} \right) =  - n\\ - {\rm{C}}_{n + 2}^3 + {\rm{C}}_{n + 2}^4 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}{\rm{C}}_{n + 2}^{n + 2} = \left( {{\rm{C}}_{n + 2}^0 - {\rm{C}}_{n + 2}^1 + {\rm{C}}_{n + 2}^2 - {\rm{C}}_{n + 2}^3 + {\rm{C}}_{n + 2}^4 + ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}{\rm{C}}_{n + 2}^{n + 2}} \right) - \left( {{\rm{C}}_{n + 2}^0 - {\rm{C}}_{n + 2}^1 + {\rm{C}}_{n + 2}^2} \right)\\ = {\left( {1 - 1} \right)^{n + 1}} - \left( {1 - \left( {n + 2} \right) + \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}} \right) =  - \frac{{{n^2} + n}}{2}\end{array}\)

Vậy ta suy ra:

\(S = \frac{1}{{n + 1}}\left( { - n} \right) + \frac{2}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}.\frac{{{n^2} + n}}{2} = \frac{{ - n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\).

Chọn A