Cho hình vuông ABCD. Gọi G là tr...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ;\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b ;\frac{{DK}}{{DC}} = x\). Tìm \(\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {GK} \) theo \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,x\)

Để \(AG \bot GK \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GK}  = 0\) giải để tìm x từ đó suy ra đpcm

Giải chi tiết:

Gọi cạnh hình vuông là a.

Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ;\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b \) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = a\,\,;\,\,\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

Đặt \(\frac{{DK}}{{DC}} = x \Rightarrow DK = x.DC \Rightarrow \overrightarrow {DK}  = x\overrightarrow a \)

Gọi M  là trung điểm của cạnh BC ta có:

 \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\\\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\\\overrightarrow {GK}  = \overrightarrow {AK}  - \overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DK}  - \overrightarrow {AG} \\\;\;\;\;\; = \overrightarrow b  + x\overrightarrow a  - \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{3}\left[ {\left( {3x - 2} \right)\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right]\\\;\;\;\;AG \bot GK \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GK}  = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right).\frac{1}{3}\left[ {\left( {3x - 2} \right)\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2}\left( {3x - 2} \right) + 2{a^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow KC = 2KD\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)