1. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ \(AH \bot B{\rm{D}}\...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. a) Chứng minh 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

b) Từ cặp tam giác đồng dạng chứng minh ở câu a, ta rút ra tỉ lệ thức phù hợp và suy ra điều phải chứng minh.

c) Áp dụng kết quả câu b và tính chất đường phân giác ta rút ra tỉ lệ thức phù hợp suy ra điều phải chứng minh.

d) Áp dụng định lý Talet, chứng minh cặp đường thẳng song song theo yêu cầu bài toán. Kết hợp kiến thức về chứng minh tam giác đồng dạng,…., để chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

2. Áp dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật \(V = abc.\)

Giải chi tiết:

1. 

a) Xét \(\Delta HDA\) và \(\Delta ADB\) ta có:

\(\angle DHA = \angle DAB = {90^0}\) (Vì ABCD là hình chữ nhật)

\(\begin{array}{l}\angle D\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta HDA \sim \Delta A{\rm{D}}B\;\;(g - g)\;\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Vì \(\Delta H{\rm{D}}A \sim \Delta A{\rm{D}}B\;\;\left( {cmt} \right)\) nên ta có:

\(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{HD}}{{AD}} \Leftrightarrow DA.AD = DB.HD \Leftrightarrow A{D^2} = DB.HD\) (đpcm)

c) Ta có tia phân giác của \(\angle ADB\)  cắt AH và AB lần lượt tại M và K

\( \Rightarrow DM\)  là tia phân giác \(\Delta HDA,\;\;DK\) là tia phân giác \(\Delta ADB.\) 

Áp dụng tính chất đường phân giác vào \(\Delta HDA\) ta có:   \(\frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{DH}}{{DA}}\;\;\;\left( 1 \right)\)        

Áp dụng tính chất đường phân giác vào \(\Delta ADB\) ta có:  \(\frac{{AK}}{{BK}} = \frac{{DA}}{{DB}}\;\;\;\left( 2 \right)\)

Lại có: \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{H{\rm{D}}}}{{A{\rm{D}}}}\) (chứng minh câu b)    (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{AK}}{{BK}} \Leftrightarrow AK.AM = BK.HM\) (đpcm)

d) Gọi I là tâm hình chữ nhật AEPF.

Áp dụng định lý Ta-let ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AP}}{{AC}}\;\;\;\left( {EP//BC} \right)\\\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AP}}{{AC}}\;\;\;\left( {PF//DC} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AD}} \Rightarrow FE//BD\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Xét \(\Delta EQF\) và \(\Delta DQB\) ta có:

\(\frac{{EQ}}{{DQ}} = \frac{{QF}}{{QB}}\;\;\left( {EF//BD} \right)\)

\(\angle EQF = \angle EQD\) (hai góc đối đỉnh)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta EQF \sim \Delta DQB\;\;\;\left( {c - g - c} \right).\\ \Rightarrow \frac{{FE}}{{BD}} = \frac{{EQ}}{{DQ}} \Rightarrow \frac{{2EI}}{{2DO}} = \frac{{EQ}}{{QD}} \Rightarrow \frac{{EI}}{{DO}} = \frac{{EQ}}{{QD}}.\end{array}\)

Lại có: \(\angle FED = \angle EDB\;\;\left( {\Delta EQF \sim \Delta DQB} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta EQI \sim \Delta DQO\;\;\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle EQI = \angle DQO\)  do đó I, O, Q thẳng hàng (đpcm).

2. 

Thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH là:

            \({V_{ABCD.EFGH}} = {\rm{ }}AE.EH.AB{\rm{ }} = {\rm{ }}5.4.3{\rm{ }} = {\rm{ }}60c{m^3}\)