Tính tổng các nghiệm của phương trình   \({\cos ^4...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \({\cos ^2}2x = t\;\;\left( {0 \le t \le 1} \right),\) đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \(t.\)

+) Giải phương trình bậc hai ẩn \(t,\)  tìm \({\cos ^2}2x\) sau đó tìm nghiệm \(x.\) 

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{\cos ^4}2x + 6{\cos ^2}2x = \frac{{25}}{{16}}\\ \Leftrightarrow 16{\cos ^4}2x + 96{\cos ^2}2x - 25 = 0\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \({\cos ^2}2x = t\;\;\left( {0 \le t \le 1} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 16{t^2} + 96t - 25 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4t - 25} \right)\left( {4t + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{25}}{4}\;\;\;\left( {ktm} \right)\\t = \frac{1}{4}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow {\cos ^2}2x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = \frac{1}{2}\\\cos 2x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x =  - \frac{\pi }{3} + m2\pi \\2x = \frac{{2\pi }}{3} + n2\pi \\2x =  - \frac{{2\pi }}{3} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + m\pi \\x = \frac{\pi }{3} + n\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + l\pi \end{array} \right.\;\left( {k,\;m,\;n,\;l \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Ta có:  \(\left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{6} + k\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow  - 0,167 \le k \le 1,83 \Rightarrow k \in \left\{ {0;\;1} \right\}\\0 \le  - \frac{\pi }{6} + m\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow 0,167 \le m \le 2,17 \Rightarrow m \in \left\{ {1;\;2} \right\}.\\0 \le \frac{\pi }{3} + n\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow  - 0,33 \le n \le 1,67 \Rightarrow n \in \left\{ {0;\;1} \right\}.\\0 \le  - \frac{\pi }{3} + l\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow 0,33 \le l \le 2,33 \Rightarrow l \in \left\{ {1;\;2} \right\}.\end{array} \right.\)

Ta có tổng các nghiệm là: \(\frac{\pi }{6} + \frac{{7\pi }}{6} + \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{11\pi }}{6} + \frac{\pi }{3} + \frac{{4\pi }}{3} + \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{5\pi }}{3} = 8\pi .\)

Chọn A.