Phương trình \({x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bx + 1 =...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình đối xứng \(a{x^4} \pm b{x^3} + c{x^2} \pm kbx + {k^2}a = 0\,\,\left( {k > 0} \right)\)

+) Thay \(x = 0\) vào phương tình xem thỏa mãn là nghiệm?

+) Với \(x \ne 0\). Chia đều 2 vế phương trình cho \({x^2} \ne 0\):

\(pt \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}}} \right) \pm \left( {x + \frac{k}{x}} \right) + c = 0\)

+) Đặt \(t = x + \frac{k}{x}\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2\sqrt k } \right) \Rightarrow {x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} = {t^2} - 2k\)

\( \Rightarrow a\left( {{t^2} - 2k} \right) \pm bt + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình bậc 2.

Giải chi tiết:

\({x^4} + b{x^3} + c{x^2} + b + 1 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với \(x = 0 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lý)

Vậy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình.

+) Với \(x \ne 0,\) chia cả hai vế của phương trình cho \({x^2}\) ta được:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + c = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Đặt \(t = x + \frac{1}{x}\,\,\,\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right) \Rightarrow {t^2} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2.\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2 + bt + c = 0 \Leftrightarrow  - {t^2} = bt + c - 2\)

Theo Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( { - {t^2}} \right)^2} = {\left[ {bt + \left( {c - 2} \right)} \right]^2} \le {\left[ {{b^2} + \left( {c - 2} \right)} \right]^2} \le \left[ {{b^2} + {{\left( {c - 2} \right)}^2}} \right]\left( {{t^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {b^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} \ge \frac{{{t^4}}}{{{t^2} + 1}}\end{array}\)

Để \(\left( 1 \right)\) có nghiệm thì \(\left| t \right| \ge 2 \Rightarrow {t^2} \ge 4 \Rightarrow {t^4} \ge 4{t^2} = 3{t^2} + {t^2} \ge 3{t^2} + 4 \Leftrightarrow \frac{{{t^4}}}{{{t^2} + 1}} > 3.\)

Vậy \({b^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} > 3\)

Chọn A.