Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Bài toán đưa về dạng \(a\sin x + b\cos x = c\)

+) Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) là : \(a{}^2 + {b^2} \ge {c^2}\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(2\sin x - \cos x + 3 \ne 0\) với \(\forall x \in R\).

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{2\sin x - \cos x + 3}}\\ \Leftrightarrow y\left( {2\sin x - \cos x + 3} \right) = \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow \left( {2y - 1} \right)\sin x\, - \left( {y + 1} \right)\cos x =  - 3y\;\;\;(*)\end{array}\).

Hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{2\sin x - \cos x + 3}}\) xác định với \(\forall x \in Z\) nên (*) có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( { - y - 1} \right)^2} \ge {\left( { - 3y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{y^2} - 4y + 1 + {y^2} + 2y + 1 \ge 9{y^2}\\ \Leftrightarrow 4{y^2} + 2y - 2 \le 0\\ \Leftrightarrow  - 1 \le y \le \frac{1}{2}\end{array}\).

Nên giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{2\sin x - \cos x + 3}}\) lần lượt là: \(m =  - 1;{\rm{ }}M = \frac{1}{2}.\)

Chọn A