Phương trình \(\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}\s...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\),  khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

- Đưa phương trình về phương trình bậc 2 ẩn t

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\). Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \).

Khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}\sin 2x = \frac{{{t^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = {t^2} - 1.\) 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Pt \Leftrightarrow t = 1 - \frac{1}{2}\left( {{t^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2t = 2 - {t^2} + 1\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 0\\t + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - 3\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k \in Z} \right).\end{array}\)

Chọn D.