Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dung bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ chứng minh phương trình 1 có : \(VP \ge VT\)

Giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{4} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} \ge \frac{{\left| {x + y} \right|}}{2}\\
\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{3} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{12}} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow \sqrt {\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{3}} \ge \frac{{\left| {x + y} \right|}}{2}\\\Rightarrow \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} + \sqrt {\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{3}} \ge \left| {x + y} \right| \ge x + y
\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[(x = y \ge 0\)

Thay x = y vào phương trình còn lại ta có: \(x\sqrt {2{x^2} + 5x + 3}  = 4{x^2} - 5x - 3\)

Để ý rằng x = 0 không phải là nghiệm.

Ta xét x > 0, chia phương trình cho \({x^2}\) thì thu được: \(\sqrt {2 + \frac{5}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}  = 4 - \left( {\frac{5}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)\).

Đặt \(t = \sqrt {2 + \frac{5}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}  > 0\) ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}t = 4 - \left( {{t^2} - 2} \right) \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2\\\Leftrightarrow 2 + \frac{5}{x} + \frac{3}{{{x^2}}} = 4 \Leftrightarrow \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{5}{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{3}\,\,\left( {tm} \right)\\\frac{1}{x} = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)\)

Vậy đáp án đúng là A