Giải phương trình \(\sqrt x  + \sqrt {1 - x}  + \s...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc 2.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ : 0 ≤ x ≤ 1

Đặt \(0 < a = \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  \Rightarrow \frac{{{a^2} - 1}}{2} = \sqrt {x\left( {1 - x} \right)} \)

Khi đó phương trình trở thành: a +\(\frac{{{a^2} - 1}}{2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + 2a - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a =  - 3\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow a = 1 \Rightarrow \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = 1\)

\( \Leftrightarrow x + 1 - x + 2\sqrt {x\left( {1 - x} \right)}  = 1 \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {1 - x} \right)}  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\). 

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là \(x = 0;\,\,x = 1\).