Cho tam giác ABC (AB < AC) có  ba góc nhọn nội...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Dựa vào tứ giác nội tiếp đã chứng minh ở trên để suy ra các cặp góc bằng nhau.

+) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng tương ứng để duy ra tỉ lệ cần chứng minh.

c) Dựa vào tính chất hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau để chứng minh các góc bằng nhau và suy ra tia phân giác.

d) Chứng minh các tứ giác nội tiếp tương ứng để chứng minh yếu tố vuông góc.

Giải chi tiết:

a)     Vì M là trung điểm của dây cung BC nên OM ⊥ BC

Xét tứ giác BDOM có \(\widehat{BDO}+\widehat{BMO}={{180}^{0}}\) nên tứ giác BDOM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\))

Suy ra \(\widehat{MOD}+\widehat{MBD}={{180}^{0}}\)

Mà \(\widehat{MBD}=\widehat{NAE}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC) nên \(\widehat{MOD}+\widehat{NAE}={{180}^{0}}\)

b)     Gọi I là giao điểm của BO với đường tròn (O)

Vì \(\widehat{BEI}={{90}^{0}}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(BE\bot EI\)

Mà \(BE\bot OD\) (gt)

\(\Rightarrow OD//EI\)

Vì tứ giác OMBD nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow \widehat{ODM}=\widehat{OBM}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung OM)

\(\widehat{OBM}=\widehat{IEC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung IC)

\(\Rightarrow \widehat{ODM}=\widehat{IEC}\)

\(\Rightarrow {{90}^{0}}-\widehat{BDM}={{90}^{0}}-\widehat{BEC}\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{BEC}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng dạng nên DF // CE.

Xét tam giác NDF và NEC có: \(\widehat{FND}=\widehat{CNE}\)(đđ), \(\widehat{NFD}=\widehat{NCE}\)(so le trong)

\(\Rightarrow \Delta NDF\sim \Delta NEC\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{ND}{NF}=\frac{NE}{NC}\Rightarrow NC.ND=NE.NF\)

c)     Vì OD ⊥ BE, OD giao đường trong tâm (O) tại A nên A là điểm chính giữa cung BE

Khi đó \(\widehat{ACB}=\widehat{ACE}\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Nên CA là tia phân giác của góc\(\widehat{BCE}\)

d)     Vì DE // EC nên \(\widehat{DFN}=\widehat{ACE}\) (so le trong)

Mà \(\widehat{ACE}=\widehat{ABE}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

\(\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{DFN}\)

Mà \(\widehat{DFN}+\widehat{DFA}={{180}^{0}}\) nên \(\widehat{ADE}+\widehat{DFA}={{180}^{0}}\)

⇒ Tứ giác AFDB nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\))

\(\Rightarrow \widehat{BFA}=\widehat{BDA}={{90}^{0}}\)

Xét tam giác ABN có AD ⊥ BN , BF ⊥ AN, \(AD\cap BF=H\) nên H là trực tâm tam giác ABN

Do đó NH ⊥ AB