Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A1; A2;…;An. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T={{k}_{1}}MA_{1}^{2}+{{k}_{2}}MA_{2}^{2}+....{{k}_{n}}MA_{n}^{2}\), trong đó k1+k2+…+kn>0

+Gọi G là điểm thỏa mãn \({{k}_{1}}\overrightarrow{G{{A}_{1}}}+{{k}_{2}}\overrightarrow{G{{A}_{2}}}+....{{k}_{n}}\overrightarrow{G{{A}_{n}}}=0\), xác định tọa độ G.

+Ta có

\(\begin{align} & \overrightarrow{M{{A}_{i}}}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{G{{A}_{i}}}\Rightarrow {{\left( \overrightarrow{M{{A}_{i}}} \right)}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{G{{A}_{i}}} \right)}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MG} \right)}^{2}}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{G{{A}_{i}}}+{{\left( \overrightarrow{G{{A}_{i}}} \right)}^{2}} \\ & \Rightarrow T=\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}}+...+{{k}_{n}} \right)M{{G}^{2}}+{{k}_{1}}GA_{1}^{2}+{{k}_{2}}GA_{2}^{2}+...+{{k}_{n}}GA_{n}^{2} \\ \end{align}\)

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất khi \(MG=0\Leftrightarrow M\equiv G\)

Giải chi tiết:

Gọi G là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\Rightarrow G\left( 3;-7;3 \right)\) Để T nhỏ nhất thì \(M\equiv G\Rightarrow P=x_{M}^{2}+2y_{M}^{2}+3z_{M}^{2}={{3}^{2}}+{{2.7}^{2}}+{{3.3}^{2}}=134\)

Chọn B.