Tính \(I = \int {{e^{2x}}\cos 3xdx} \) ta được:

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đây là nguyên hàm quay đầu, sau khi nguyên hàm từng phần 2 lần ta thấy xuất hiện đúng nguyên hàm cần tìm ban đầu.

Giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = {e^{2x}} \hfill \cr   dv = \cos 3xdx \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  du = 2{e^{2x}}dx \hfill \cr   v = {{\sin 3x} \over 3} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow I = {1 \over 3}{2^{2x}}\sin 3x - {2 \over 3}\int {{e^{2x}}\sin 3xdx}  + {C_1}.\)

Xét nguyên hàm \(\int {{e^{2x}}\sin 3xdx} \), đặt

\(\left\{ \matrix{  a = {e^{2x}} \hfill \cr   b = \sin 3xdx \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  da = 2{e^{2x}} \hfill \cr   db =  - {{\cos 3x} \over 3} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \int {{e^{2x}}\sin 3xdx}  =  - {1 \over 3}{e^{2x}}\cos 3x + {2 \over 3}\int {{e^{2x}}\cos 3x}  + {C_1} =  - {1 \over 3}{e^{2x}}\cos 3x + {2 \over 3}I + {C_2}\).

Do đó ta có 

\(\eqalign{  & I = {1 \over 3}{e^{2x}}\sin 3x - {2 \over 3}\left( { - {1 \over 3}{e^{2x}}\cos 3x + {2 \over 3}I + {C_2}} \right) + {C_1}  \cr   &  \Leftrightarrow {{13} \over 9}I = {1 \over 3}{e^{2x}}\sin 3x + {2 \over 9}{e^{2x}}\cos 3x + C  \cr   &  \Leftrightarrow I = {1 \over {13}}{e^{2x}}\left( {3\sin 3x + 2\cos 3x} \right) + C. \cr} \)

Chọn D.