Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền \(\left( D...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = a,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Xét dấu của f(x) – g(x) trên [0; 1] và phá dấu giá trị tuyệt đối.

Giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền \(\left( D \right)\) là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{4^x} - x - 5} \right|{\rm{d}}x} .\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {4^x} - x - 5\) trên [0;1] ta có:  \(h'\left( x \right) = {4^x}\ln 4 - 1 > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), do đó hàm số y = h(x) đồng biến trên [0;1] \( \Rightarrow h\left( 0 \right) \le h\left( x \right) \le h\left( 1 \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow  - 4 \le h\left( x \right) \le  - 2 < 0\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \left| {{4^x} - x - 5} \right| = x + 5 - {4^x}  \cr   &  \Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left( {x + 5 - {4^x}} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\left( {x + 5} \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_0^1 {{4^x}{\rm{d}}x}   \cr   &  = \left. {\left( {{{{x^2}} \over 2} + 5x} \right)} \right|_0^1 - \left. {{{{4^x}} \over {\ln 4}}} \right|_0^1 = {{11} \over 2} - {3 \over {\ln 4}} \cr} \)

Mặt khác \(S = a + {b \over {\ln 4}} = {{11} \over 2} - {3 \over {\ln 4}}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \matrix{  a = {{11} \over 2} \hfill \cr   b =  - \,3 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow ab =  - {{33} \over 2}.\)

Chọn C.