Phương trình \(8\cos x = {{\sqrt 3 } \over {\sin x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Biến đổi, đưa phương trình về dạng phương trình đẳng cấp bậc ba.

- TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

- TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{3}}x\).

- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.

Giải chi tiết:

ĐK:\(\left\{ \matrix{\sin x \ne 0 \hfill \cr \cos x \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne {{k\pi } \over 2}\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

\(8\cos x = {{\sqrt 3 } \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} \Leftrightarrow 8\sin x{\cos ^2}x = \sqrt 3 \cos x + \sin x\)

\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\) ta được:

\(\eqalign{ & \Leftrightarrow 8{{\sin x} \over {\cos x}} = {{\sqrt 3 } \over {{{\cos }^2}x}} + {{\sin x} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }}.{1 \over {{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 8\tan x = \sqrt 3 \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^3}x + \sqrt 3 {\tan ^2}x - 7\tan x + \sqrt 3 = 0 \cr} \)

Đặt \(\tan x=t\) khi đó phương trình có dạng:

\(\eqalign{
& {t^3} + \sqrt 3 {t^2} - 7t + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = \sqrt 3 \hfill \cr
t = - \sqrt 3 \pm 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = \sqrt 3 \hfill \cr
\tan x = - \sqrt 3 \pm 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 3} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan \left( { - \sqrt 3 \pm 2} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right) \cr} \)

Chọn D.