Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và...

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D

Kẻ Ax//BC,$HI\perp Ax$,$HK\perp SI$. Gọi M là trung điểm của AB

$\Rightarrow d(BC,SA)=d(BC,(SAx\left)\right)=\frac{4}{3}d(H,\left(SAx\right))$

Ta có $AI\perp \left(SHI\right)\Rightarrow AI\perp HK\Rightarrow HK\perp \left(SAI\right)\Rightarrow d(H,(SAx\left)\right)=HK$

Góc giữa SC và (ABC) là góc $\widehat{SCH}=60°$

Ta có$HC=\sqrt{C{M}^2+M{H}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{4}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{13}}{4}$ 

$\Rightarrow SH=HC.\tan 60°=\frac{a\sqrt{39}}{4}$

$HI=AH.\sin 60°=\frac{3}{4}.a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a.3\sqrt{3}}{8}$

Ta có $H{K}^2=\frac{H{I}^2.S{H}^2}{H{I}^2+S{H}^2}=\frac{351.a^2}{61}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{351}}{\sqrt{61}}$

$\Rightarrow d(BC,SA)=\frac{4}{3}.\left(d\left(H,\left(SAx\right)\right)\right)=\frac{4a\sqrt{351}}{3\sqrt{61}}$