Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạn...

B

- Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC$\Rightarrow IA=IB=IC$  (1).

Ta có $∆SAC=∆SAB\Rightarrow A{B}_1=A{C}_1$. Từ đây ta chứng minh được $B_1{C}_1//BC$.

Gọi M là trung điểm của $BC\Rightarrow BC\perp \left(SAM\right)\Rightarrow B_1{C}_1\perp \left(SAM\right)$.

Gọi $\left\{H\right\}=SM\cap B_1{C}_1\Rightarrow \frac{H{B}_1}{MB}=\frac{H{C}_1}{MC}$, do $MB=MC$ nên $H{B}_1=H{C}_1$ 

Mặt phẳng (SAM) đi qua trung điểm H của $B_1{C}_1$ nên $B_1{C}_1\perp \left(SAM\right)$ nên (SAM) là mặt phẳng trung trực của $B_1{C}_1$. Do $I\in AM\subset \left(SAM\right)$ nên $I{B}_1=I{C}_1$ (2).

Gọi N là trung điểm của AB, suy ra $\left\{\begin{array}{l}AB\perp IN\\ SA\perp IN\end{array}\right.\Rightarrow IN\perp \left(SAB\right)$.

Tam giác $AB{B}_1$ vuông tại $B_1$ có N là trung điểm của AB nên $NA=N{B}_1=\frac{1}{2}AB$.

Như vậy ta có các tam giác vuông sau bằng nhau

$∆INA=∆INB=∆IN{B}_1\Rightarrow IA=IB=I{B}_1$ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra 5 điểm A,B,C,$B_1,C_1$ cùng nằm trên mặt cầu tâm I, bán kính $R=IA=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ (do ABC là tam giác đều và I là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Rightarrow$ I cũng là trọng tâm tam giác ABC).