Cho hình chóp S.ABCD có đá ABCD...

- Hướng dẫn giải

+ Tam giác SAB đều $\Rightarrow SA=SB=AB=2a$ 

+ Xét tam giác SAD có

$$\begin{gathered} S{D}^2=S{A}^2+A{D}^2-2SA.SD.cosSAD \\ =12a^2\Rightarrow SD=2\sqrt{3}a \end{gathered}$$

+ Gọi $AC\cap BD=O\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow BO=\sqrt{A{B}^2-A{O}^2}=\frac{\sqrt{13}a}{2} \\ \Rightarrow BD=\sqrt{13}a \end{gathered}$$

Áp dụng công thức Hêrông ta tính được diện tích của tam giác SBD là $S_{∆SBD}=\frac{\sqrt{183}{a}^2}{4}$ 

+ Gọi H là hình chiếu của A trên (SBD). Vì $AB=AD=AS=2a\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

$SBD\Rightarrow SH=\frac{SB.SD.BD}{4S_{∆SBD}}=\frac{4\sqrt{39}a}{\sqrt{183}}$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow AH=\sqrt{S{A}^2-S{H}^2} \\ =\sqrt{4a^2-\frac{624a^2}{183}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{183}} \\ \Rightarrow v_{S.ABD}=V_{A.SBD}=\frac{1}{3}.AH.S_{∆SBD} \\ =\frac{1}{3}.\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{183}}.\frac{\sqrt{183}{a}^3}{4}=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{4} \\ \Rightarrow V_{S.ABCD}=2V_{S.ABCD}=\sqrt{3}{a}^3 \end{gathered}$$

Cách 2:

Ta có

$$\begin{gathered} cosBAC=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC} \\ =\frac{4a^2+3a^2-4a^2}{2.2a.\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{4} \\ \Rightarrow cosBAD=2{\left(cosBAC\right)}^2-1=-\frac{5}{8} \end{gathered}$$

Áp dụng công thức tính nhanh cho khối chóp A.SBD ta có

$V_{A.SBD}=\frac{AS.AB.AD}{2}$.

Chọn đáp án A.