Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Khảo sát hàm bên trong dấu trị tuyệt đối để biện luận giá trị lớn nhất

Giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+mx+m}{x+1}\) trên \(\left[ 1;\,2 \right]\) có \({y}'=\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0;\,\,\forall x\in \left[ 1;\,2 \right]\)

Suy ra \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|=\left\{ \left| f\left( 1 \right) \right|;\,\,\left| f\left( 2 \right) \right| \right\}=\left\{ \left| \frac{2m+1}{2} \right|;\,\,\left| \frac{3m+4}{3} \right| \right\}=\left\{ \frac{\left| 2m+1 \right|}{2};\,\,\frac{\left| 3m+4 \right|}{3} \right\}.\)

TH1. Với \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|=\left| \frac{2m+1}{2} \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \left| 2m+1 \right|=4 \\  & \frac{\left| 2m+1 \right|}{2}\ge \frac{\left| 3m+4 \right|}{3} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \,\,m=-\frac{5}{2}.\)

TH2. Với \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|=\left| \frac{3m+4}{3} \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \left| 3m+4 \right|=6 \\  & \frac{\left| 2m+1 \right|}{2}\le \frac{\left| 3m+4 \right|}{3} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \,\,m=\frac{2}{3}.\)

Chọn C