Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi, đặt \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = t,\,\,t \ge 2\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x} - 2} \right) = m\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{{2^2}}}\left( {2\left( {{5^x} - 1} \right)} \right) = m\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).\left( {1 + {{\log }_2}\left( {{5^x} - 1} \right)} \right) = m\\ \Leftrightarrow \log _{_2}^2\left( {{5^x} - 1} \right) + {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) - 2m = 0\end{array}\)

Đặt \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = t,\,\,t \ge 2\), phương trình trở thành:  \({t^2} + t - 2m = 0,\,\,t \ge 2 \Leftrightarrow {t^2} + t = 2m,\,\,t \ge 2\)(*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t,\,\,t \ge 2\) có:  \(f'\left( t \right) = 2t + 1 > 0,\,\,\forall t \ge 2 \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Để phương trình (*) có nghiệm thì \(2m \ge 6 \Leftrightarrow m \ge 3\).

Chọn: C