Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của BC. Vì \(\Delta SBC,\Delta ABC\)đều nên \(SN \bot BC;AN \bot BC\)

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SN \bot BC\\AN \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SN;AN} \right)}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SN \bot BC\\AN \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow \left( {SAN} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)

Trong (SAN) kẻ \(SH \bot AN\)

\(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot AN\\SH \bot BC\left( {BC \bot \left( {SAN} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Vì H nằm trong tam giác ABC nên \(\widehat {SNA} < {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SN;AN} \right)} = \widehat {SNA} = {60^0}\)

Lại có: \(\Delta SBC = \Delta ABC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow SN = AN \Rightarrow \Delta SNA\) cân tại N \( \Rightarrow \Delta SNA\) đều \( \Rightarrow H\) là trung điểm của AN.

Trong (ABC) kẻ \(HD \bot AC\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AC \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\AC \bot HD\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {SHD} \right)\)

Trong (SHD) kẻ \(HK \bot SD\). Có: \(\left. \begin{array}{l}HK \bot AC\left( {AC \bot \left( {SHD} \right)} \right)\\HK \bot SD\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HK\)

Ta có: \(AN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{4};\,\,AH = \dfrac{1}{2}AN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

\(\Delta AHD \sim \Delta ACN\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HD}}{{CN}} = \dfrac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow HD = \dfrac{{AH.CN}}{{AC}} = \frac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{a}{2}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{8}\)

Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot HD \Rightarrow \Delta SHD\) vuông tại H

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{D^2}}} = \dfrac{{16}}{{9{a^2}}} + \dfrac{{64}}{{3{a^2}}} = \dfrac{{208}}{{9{a^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{{3a}}{{4\sqrt {13} }}\)

Chọn C.