a) Chứng minh với mọi số tự nhiên \(n\) thì: \({n^...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Dễ chứng minh \(n = 3k,\)  từ đó đặt \(n = 3k\)  và tìm điều kiện của \(k.\)

b) Gọi số đó có dạng: \(\overline {{a_1}{a_2}...{a_m}} \), chứng minh với \(m > 5\)  thì bài toán vô nghiệm.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì: \({n^3} - 9n + 27\) không chia hết cho 81.

Giả sử tồn tại \(n\) thỏa mãn \(\left( {{n^3} - 9n + 27} \right)\,\, \vdots \,\,81.\)

\( \Rightarrow \left( {{n^3} - 9n + 27} \right)\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {n^{3\,}}\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow n\,\, \vdots \,\,3.\)

Do đó đặt \(n = 3k.\)

\( \Rightarrow {n^3} - 9n + 27 = 27{k^3} - 27k + 27 = 27({k^3} - k + 1)\)

Lại có: \({k^3} - k + 1 = k({k^2} - 1) + 1 = k(k - 1)(k + 1) + 1.\)

Do \(k\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)\) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3, do đó biểu thức \(k(k - 1)(k + 1) + 1\) sẽ không chia hết cho 3.

Vậy với mọi số tự nhiên \(n\) thì \({n^3} - 9n + 27\) không chia hết cho \(81.\)

b) Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu nó gấp 99 lần tổng các chữ số của nó. Tìm số may mắn đó.

Gọi số may mắn thỏa mãn bài toán có dạng: \(\overline {{a_1}{a_2}...{a_m}} \), từ đó suy ra: \(\overline {{a_1}{a_2}...{a_m}}  = 99({a_1} + {a_2} + ... + {a_m}).\)

TH1: \(m \le 3\): Kiểm tra trực tiếp ta suy ra vô nghiệm.

TH2: \(m \ge 5\): Ta luôn có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overline {{a_1}{a_2}...{a_m}}  \ge {10^{m - 1}}\\99({a_1} + ... + {a_m}) \le 99.9m = 891m\\{10^{m - 1}} > 891m,\forall m \ge 5\end{array} \right..\)

Do đó trường hợp này vô nghiệm.

TH3: \(m = 4\) Thay vào ta có:

\(\begin{array}{l}1000{a_1} + 100{a_2} + 10{a_3} + {a_4} = 99({a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4})\\ \Leftrightarrow 901{a_1} + {a_2} = 89{a_3} + 98{a_4}\\Do\,\,\,89{a_3} + 98{a_4} \le (89 + 98).4 = 1683 \Rightarrow 901{a_1} \le 1683 \Rightarrow {a_1} \le 1\\ \Rightarrow {a_1} = 1\,\,\,\left( {a \in \mathbb{N}*} \right).\\ \Rightarrow {a_3} = 10 - {a_4} + \frac{{11 + {a_2} - 9{a_4}}}{{89}}\\{a_3} \in \mathbb{N}* \Rightarrow \left( {11 + {a_2} - 9{a_4}} \right)\, \vdots \,89\\ \Rightarrow 11 + {a_2} - 9{a_4} = 0 \Rightarrow {a_2} = 7;\,\,{a_4} = 2;\,\,{a_3} = 8;\,\,\,{a_1} = 1.\end{array}\)

Vậy số cần tìm là \(1782.\)

Chọn C.