Cho hình phẳng (H) (phần gạch chép trong hình vẽ)....

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho hai hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\)và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\)liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\), \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\)và hai đường thẳng \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}a;{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}b\)khi quay quanh trục Ox là:

      \(V = \;\pi \int_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \).

Giải chi tiết:

Thể tích cần tìm là:

\(\begin{array}{l}V = \;\pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx}  + \;\pi \int\limits_2^4 {\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]dx}  = \;\pi \int\limits_0^2 {xdx}  + \;\pi \int\limits_2^4 {\left[ { - {x^2} + 5x - 4} \right]dx} \\ = \;\dfrac{1}{2}\pi \left. {{x^2}} \right|_0^2 + \;\pi \left. {\left( { - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{5}{2}{x^2} - 4x} \right)} \right|_2^4 = \;2\pi  + \;\pi \left[ {\left( { - \dfrac{{64}}{3} + 40 - 16} \right) - \left( { - \dfrac{8}{3} + 10 - 8} \right)} \right] = \;\dfrac{{16}}{3}\pi \end{array}\)

Chọn: D