Cho tứ diện \(ABCD\) với \(AC = \dfrac{3}{2}AD,\,\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).

Giải chi tiết:

Đặt \(AD = x \Rightarrow AC = \dfrac{3}{2}x,\,\,CD = x\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = AB.AD.\cos \angle DAB - AB.AC.\cos \angle CAB\\ = AB.x.\cos {60^0} - AB.\dfrac{3}{2}x.\cos {60^0}\\ = AB.x.\dfrac{1}{2} - AB.\dfrac{3}{2}x.\dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{4}AB.x\end{array}\)

Khi đó ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{AB.CD}} = \dfrac{{ - \dfrac{1}{4}AB.x}}{{AB.x}} =  - \dfrac{1}{4} < 0\).

Vậy \(\cos \left( {AB;CD} \right) = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \cos \varphi  = \dfrac{1}{4}\).

Chọn A.