Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\a \subset \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng đó.

c) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh tính khoảng cách, so sánh \(d\left( {C;\left( {SMN} \right)} \right)\) và \(d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\).

Giải chi tiết:

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

b) \(AM\) là hình chiếu của \(SM\) trên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SM;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SAM\).

Xét tam giác vuông \(ABM\) ta có: \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}}  = a\sqrt 5 \).

Xét tam giác vuông \(SAM\) ta có: \(\tan \angle SAM = \dfrac{{AM}}{{SA}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{{a\sqrt {15} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \angle SAM = {30^0}\).

c) Gọi \(I = AC \cap MN \Rightarrow I\) là trung điểm của \(OC\).

Ta có : \(AC \cap \left( {SMN} \right) = I \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SMN} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)}} = \dfrac{{CI}}{{AI}} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SMN} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\).

Ta có \(MN//BD\), mà \(BD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MN \bot \left( {SAC} \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SI\,\,\left( {H \in SI} \right)\) \( \Rightarrow MN \bot AH\).

\( \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right) = AH\).

Ta có \(AC = 2a\sqrt 2  \Rightarrow AI = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{3}{4}.2a\sqrt 2  = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác vuông \(SAI\) ta có : \(AH = \dfrac{{SA.AI}}{{\sqrt {S{A^2} + A{I^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} .\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {15{a^2} + \dfrac{{9{a^2}}}{2}} }} = \dfrac{{3a\sqrt {65} }}{{13}}\).

Vậy \(d\left( {C;\left( {SMN} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{{a\sqrt {65} }}{3}\)