Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự que...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1) Xây dựng ví dụ để \(S=870\)

Chia 45 người đã cho thành 9 nhóm sao cho nhóm thứ i có I người \(\left( 1\le i\le 9 \right)\)

Ta xét trường hợp khi mỗi người ở một nhóm đều quen tất cả mọi người ở nhóm khác, nhưng không quen ai cở chính nhóm của mình. Tức là mỗi người ở nhóm i sẽ quen đúng \(45-i\) người khác (45 người trừ đi i  người ở chính nhóm anh ta).

Khi đó ta có \(S=\frac{1}{2}\left( 1.44+2.43+...+9.36 \right)=870\).

2) Chứng minh \(S\le 870\)

Gọi \({{x}_{i}}\) là số người quen đúng i người khác \(\left( 1\le i<45 \right)\). Nếu một người A nào đó quen i người thì anh ta không quen ai trong \({{x}_{i}}\) người này, nghĩa là A quen nhiều nhất là \(45-{{x}_{i}}\) người.

\(\Rightarrow i\le 45-{{x}_{i}}\Rightarrow {{x}_{i}}\le 45-i\).

Ta có \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+...+{{x}_{44}}=45\)  và

\(\begin{align}  & S=\frac{1}{2}\left( {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+....+44{{x}_{44}} \right) \\  & \,\,\,\,\le \frac{1}{2}\left( 36{{x}_{1}}+36{{x}_{2}}+....+36{{x}_{36}}+37{{x}_{37}}+....+44{{x}_{44}} \right) \\  & \,\,\,\,=\frac{1}{2}\left[ 36\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{44}} \right)+{{x}_{37}}+2{{x}_{38}}+...+8{{x}_{44}} \right] \\  & \,\,\,\,\le \frac{1}{2}\left( 36.45+1.8+2.7+...+8.1 \right)=870 \\ \end{align}\)

Vậy bài toán được chứng minh.

.