Lập phương trình (d) qua \(M\left( {4;1} \right)\)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

* Bước 1 :

Giả sử \(A\left( {a;0} \right);\,\,B\left( {0;b} \right).\)  ĐK : \(a;b \ne 0\).

Phương trình \(\left( {AB} \right):\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\,\,\left( 1 \right)\)

* Bước 2 : Lập 2 phương trình :

\(M\left( {4;1} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow \frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1\,\,\left( 1 \right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki : \(\left| {{x_1}{y_1} + {x_2}{y_2}} \right| \le \sqrt {x_1^2 + x_2^2} \sqrt {y_1^2 + y_2^2} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\frac{1}{a}.4 + \frac{1}{b}.1} \right| \le \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} .\sqrt {16 + 1} \\ \Rightarrow 1 \le \sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} .\sqrt {17}  \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{1}{{\sqrt {17} }}\\ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow \frac{1}{{4a}} = \frac{1}{b}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{17}}{4}\\b = 17\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,4x + 2y - 17 = 0\).