Cho phương trình \({x^2} + 4x + m + 1 = 0\,\,\,(1)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay m = 2 và giải phương trình.

b) Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là \(\Delta ' \ge 0\).

c) Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt. Sử dụng hệ thức Vi-et.

Giải chi tiết:

a) Giải phương trình (1) với m = 2.

Thay \(m = 2\) vào \((1)\): \({x^2} + 4x + 2 + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0\)

Ta có : \(a - b + c = 1 - 4 + 3 = 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} =  - 1\\{x_2} =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy, với \(m = 2\) thì phương trình có hai nghiệm \({x_1} =  - 1,\,\,{x_2} =  - 3\).

b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.

\(\Delta ' = {2^2} - (m + 1) = 4 - m - 1 = 3 - m\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\).

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{{{x_1} - 1}}{{2{x_2}}} - \frac{{{x_2} - 1}}{{2{x_1}}} =  - 3\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3\)

Áp dụng định lý Vi-et, ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 4\\{x_1}{x_2} = m + 1\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {x_2} =  - 4 - {x_1}\) . Thay vào \(\frac{{{x_1} - 1}}{{2{x_2}}} - \frac{{{x_2} - 1}}{{2{x_1}}} =  - 3\), ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x_1} - 1}}{{2\left( { - 4 - {x_1}} \right)}} - \frac{{ - 4 - {x_1} - 1}}{{2{x_1}}} =  - 3,\,\,\left( {{x_1} \ne 0,\,\,{x_1} \ne 4} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{{x_1} - 1}}{{2( - 4 - {x_1})}} - \frac{{ - 5 - {x_1}}}{{2{x_1}}} =  - 3\\ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}\left( {{x_1} - 1} \right) - \left( { - 4 - {x_1}} \right)\left( { - 5 - {x_1}} \right)}}{{2{x_1}( - 4 - {x_1})}} =  - 3\\ \Leftrightarrow {x_1}\left( {{x_1} - 1} \right) - \left( {4 + {x_1}} \right)\left( {5 + {x_1}} \right) =  - 3.2{x_1}( - 4 - {x_1})\\ \Leftrightarrow x_1^2 - {x_1} - 20 - 4{x_1} - 5{x_1} - x_1^2 - 24{x_1} - 6x_1^2 = 0\\ \Leftrightarrow  - 6x_1^2 - 34{x_1} - 20 = 0\\ \Leftrightarrow 3x_1^2 + 17{x_1} + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 3x_1^2 + 15{x_1} + 2{x_1} + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x_1}\left( {{x_1} + 5} \right) + 2\left( {{x_1} + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 5} \right)\left( {3{x_1} + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} =  - 5\\{x_1} =  - \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Với \({x_1} =  - 5 \Rightarrow {x_2} =  - 4 - {x_1} =  - 4 + 5 = 1\)

Thay vào (*) ta có \( - 5 = m + 1 \Leftrightarrow m =  - 6\,\,\left( {tm} \right)\)

Với \({x_1} =  - \frac{2}{3} \Rightarrow {x_2} =  - 4 - {x_1} =  - \frac{{10}}{3}\)

 Thay vào (*) ta có \(\frac{{20}}{9} = m + 1 \Leftrightarrow m = \frac{{11}}{9}\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(m =  - 6\) hoặc \(m = \frac{{11}}{9}\).