Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

+) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến. Xác định góc giữa \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

+) Tính tan của góc xác định được.

Giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SM \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO = \gamma \).

Ta có \(OM = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}.2a = a\).

Tam giác \(SCD\) đều cạnh \(2a \Rightarrow SM = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{M^2} - S{O^2}}  = \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2 \) (Định lí Pytago)

\( \Rightarrow \tan \gamma  = \tan \angle SMO = \dfrac{{SO}}{{OM}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \).

Chọn D.