Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{1 - x}}\) có đồ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\).

+) Thay tọa độ điểm A vào phương trình tiếp tuyến, rút ra phương trình bậc hai ẩn \({x_0}\).

+) Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn \({x_0}\) có 1 nghiệm thỏa mãn ĐKXĐ.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} - 2}}{{1 - {x_0}}}\,\,\,\left( d \right)\)

Vì \(A \in \left( d \right) \Rightarrow 1 = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}\left( {m - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} - 2}}{{1 - {x_0}}}\)  

\( \Leftrightarrow {\left( {1 - {x_0}} \right)^2} =  - m + {x_0} - x_0^2 + 3{x_0} - 2 \Leftrightarrow 2x_0^2 - 6{x_0} + m + 3 = 0\,\,\left( * \right)\)

Để có đúng một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) qua \(A\) thì:

TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép \(\Delta ' = 9 - 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\).

TH2: Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm \(x = 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 9 - 2m - 6 > 0\\2 - 6 + m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{3}{2}\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).

\(S = \left\{ {\dfrac{3}{2};1} \right\} \Rightarrow {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} + {1^2} = \dfrac{{13}}{4}\).

Chọn D.