a)      Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \({x^2}\left( {y + 3} \right) = y{\left( {{x^2} - 3} \right)^2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2}\left( {y + 3} \right) = y{\left( {{x^2} - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{y + 3}}{y} = {\left( {\dfrac{{{x^2} - 3}}{x}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{3}{y} = {x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 6.\end{array}\)

Nếu \(x = 1 \Rightarrow 1 + \dfrac{3}{y} = 4 \Leftrightarrow y = 1\)

Nếu \(x = 2 \Rightarrow 1 + \dfrac{3}{y} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow y =  - 4\,\,\left( {ktm} \right)\).

Nếu \(x \ge 3 \Rightarrow \dfrac{3}{y} = {x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 7 \ge {x^2} - 7 \ge 2\,\,\left( {Do\,\,x \ge 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2y \le 3 \Rightarrow y = 1\,\,\left( {y \in {Z^ + }} \right)\\ \Rightarrow 3 = {x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 7 \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 9\\{x^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm 3\\x =  \pm 1\\x \ge 3\end{array} \right. \Rightarrow x = 3.\end{array}\)

Vậy các nghiệm nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình đã cho là \(\left( {1;1} \right);\,\,\left( {3;1} \right)\).

b)     Giải phương trình: \({x^2} - 2\sqrt {2x - 1}  = \frac{{13{x^2} - 28x + 24}}{{2x + 1}}\).

Điều kiện xác định: \(x \ge \frac{1}{2}.\)

Quy đồng thì phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}{x^2}\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x - 1}  = 13{x^2} - 28x + 24\\ \Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} - 2\left( {2x - 1 + 2} \right)\sqrt {2x - 1}  - 13{x^2} + 28x - 24 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 12{x^2} + 28x - 24 = 2{\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^3} + 4\sqrt {2x - 1} \\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^3} - 6{x^2} + 12x - 8} \right) + 4x - 8 = 2{\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^3} + 4\sqrt {2x - 1} \\ \Leftrightarrow 2{\left( {x - 2} \right)^3} + 4\left( {x - 2} \right) = 2{\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^3} + 4\sqrt {2x - 1} \end{array}\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = 2{t^3} + 4t\)

Với \({t_1} > {t_2} \Rightarrow f\left( {{t_1}} \right) - f\left( {{t_2}} \right) = 2t_1^3 - 2t_2^3 + 4\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {{t_1}} \right) - f\left( {{t_2}} \right) = 2\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\left( {t_1^2 + {t_1}{t_2} + t_2^2} \right) + 4\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\\ \Rightarrow f\left( {{t_1}} \right) - f\left( {{t_2}} \right) = \left( {{t_1} - {t_2}} \right)\left( {2t_1^2 + 2{t_1}{t_2} + 2t_2^2 + 4} \right) > 0\\ \Rightarrow f\left( {{t_1}} \right) > f\left( {{t_2}} \right)\end{array}\)

Do đó: \(x - 2 = \sqrt {2x - 1}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 4x + 4 = 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 6x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 5\).