Cho \(\left\{ \begin{align}  & a=\frac{\sqrt{2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-        Ta sẽ tính lần lượt \({{a}^{2}}+{{b}^{2}},a+b,{{a}^{3}}+{{b}^{3}},{{a}^{4}}+{{b}^{4}}\) để từ đó suy ra kết quả.

Giải chi tiết:

Cho \(\left\{ \begin{align}  & a=\frac{\sqrt{2}-1}{2} \\  & b=\frac{\sqrt{2}+1}{2} \\ \end{align} \right..\) Tính \({{a}^{7}}+{{b}^{7}}.\)

Ta có \(a+b=\frac{\sqrt{2}-1}{2}+\frac{\sqrt{2}+1}{2}=\sqrt{2},\ \ ab=\frac{1}{4}\)

\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

\({{a}^{4}}+{{b}^{4}}={{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}-\frac{1}{8}=\frac{17}{8}\)

\({{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)=2\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{4}=\frac{5\sqrt{2}}{4}\)

Do đó \({{a}^{7}}+{{b}^{7}}=\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)-{{a}^{3}}{{b}^{3}}(a+b)\)

            \(=\frac{5\sqrt{2}}{4}.\frac{17}{8}-\frac{\sqrt{2}}{64}=\frac{169\sqrt{2}}{64}.\)

Vậy \({{a}^{7}}+{{b}^{7}}=\frac{169\sqrt{2}}{64}.\)

Chọn A