Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  \(\left( P \right)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chú ý sử dụng định lý Viet và nghiệm của phương trình bậc 2. Hơn nữa lưu ý d // d’.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(0 < m < 1.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị hàm số \(\left( P \right)\)  là:

\({x^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^2} = m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt m \\x =  - \sqrt m \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( { - \sqrt m ;\;m} \right)\\B\left( {\sqrt m ;\;m} \right)\end{array} \right..\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d'\) và đồ thị hàm số \(\left( P \right)\)  là:

\({x^2} - {m^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {m^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x =  - m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C\left( {m;\;{m^2}} \right)\\D\left( { - m;\;{m^2}} \right)\end{array} \right..\)

Ta có: \(d,\;d'\) là hai đường thẳng cùng song song với \(Ox \Rightarrow d//d'\)  hay \(AB//CD\)

\( \Rightarrow ABCD\) là hình thang.

Khi đó ta có: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).d\left( {d;\;d'} \right).\)

Có: \(d\left( {d;\;d'} \right) = \left| {m - {m^2}} \right| = m - {m^2}\;\;\left( {do\;\;0 < m < 1} \right).\)

 \(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {\sqrt m  + \sqrt m } \right)}^2}}  = 2\sqrt m \\CD = \sqrt {{{\left( { - m - m} \right)}^2}}  = 2m.\\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).d\left( {d;\;d'} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}\left( {2\sqrt m  + 2m} \right)\left( {m - {m^2}} \right) = \left( {\sqrt m  + m} \right)\left( {m - {m^2}} \right).\end{array}\)

Lại có: \({S_{OCD}} = \frac{1}{2}d\left( {O;\;CD} \right).CD = \frac{1}{2}{m^2}.2m = {m^3}.\)

Theo đề bài ta có: \({S_{ABCD}} = 9{S_{OCD}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\sqrt m  + m} \right)\left( {m - {m^2}} \right) = 9{m^3}\\ \Leftrightarrow m\sqrt m \left( {\sqrt m  + 1} \right)\left( {1 - m} \right) = 9{m^3}\\ \Leftrightarrow \sqrt m  - m\sqrt m  + 1 - m = 9m\sqrt m \\ \Leftrightarrow 10m\sqrt m  + m - \sqrt m  - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sqrt m  - 1} \right)\left( {5m + 3\sqrt m  + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sqrt m  - 1 = 0\\5m + 3\sqrt m  + 1 = 0\;\;\;\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt m  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy  \(m = \frac{1}{4}\) thỏa mãn bài toán.

Chọn D.