Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\)(cách chọn đơn vị trên...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(y = a.x + b\) có hệ số góc là \(a\).

+) Từ dữ kiện đề bài cho ta viết được phương trình đường thẳng d.

+) Để tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng, ta giả sử đường thẳng cắt \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt tại \(A,B\).

+) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông \(OAB\) ta tính được khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\).

Giải chi tiết:

Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng \(y = a.x + b\).

Theo đề bài: đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc là \( - \frac{4}{3}\)

\( \Rightarrow a = \frac{{ - 4}}{3} \Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) có dạng \(y = \frac{{ - 4}}{3}x + b\)

Theo đề bài ta có: đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {3;4} \right)\)

\( \Rightarrow 4 = \frac{{ - 4}}{3}.3 + b \Rightarrow b = 8 \Rightarrow \left( d \right):y =  - \frac{4}{3}x + 8.\)

Gọi \(A,\;B\) lần lượt là giao điểm của \(\left( d \right)\) với \(Ox\) và \(Oy \Rightarrow A\left( {{x_A};\;0} \right),\;\;B\left( {0;\;{y_B}} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 =  - \frac{4}{3}{x_A} + 8\\{y_B} =  - \frac{4}{3}.0 + 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} =  - 6\\{y_B} = 8\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( { - 6;\;0} \right)\\B\left( {0;\;8} \right)\end{array} \right..\)

Xét tam giác vuông \(OAB\) có đường cao\(AH\) chính là khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng \(\left( d \right)\)

Suy ra độ dài: \( \Rightarrow OA = \left| {{x_A}} \right| = 6;\;\;OB = \left| {{y_B}} \right| = 8.\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông \(OAB\) có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{{8^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} = \frac{{25}}{{576}} \Rightarrow AH = \frac{{24}}{5}\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(\frac{{24}}{5}\).

Chọn A.