Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

b) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất của tam giác cân để chứng minh

c) Chứng minh \(\Delta BED\) và \(\Delta ABD\) là hai tam giác đồng dạng từ đó suy ra điều phải chứng minh

Giải chi tiết:

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow \angle OBA = \angle OCA = {90^o}\)

\( \Rightarrow \) B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

 \( \Rightarrow \) A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính OA. (đpcm)

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại A

\( \Rightarrow \) \(AB = AC\) và AO là phân giác \(\angle BAC\)  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác cân tại A

\( \Rightarrow \) AO vừa là phân giác \(\angle BAC\)  vừa là đường trung trực của BC (tính chất tam giác cân)

c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với \(\left( O \right)\) (E không trùng với D). Chứng minh \(\frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{BA}}\).

Ta có D đối xứng với B qua O \( \Rightarrow \) BD là đường kính của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \) \(\angle BED = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta ABD\) có: \(\angle BED = \angle ABD = {90^o}\), \(\angle D\) chung

\( \Rightarrow \Delta BED \sim \Delta ABD\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{Ba}}.\)

d) Tính số đo góc HEC.

\(\angle BCD = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\angle AHB = {90^o}\) (AO là trung trực của BC)

Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta AHB\) có: \(\angle BCD = \angle AHB = {90^o},\;\angle BDC = \angle ABH\)(BA là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại B)

\( \Rightarrow \Delta BCD \sim \Delta AHB\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{CD}}{{BH}}\)    kết hợp c) \( \Rightarrow \frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{BH}}\)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta DCE\) có  \(\frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{BH}} \Rightarrow \Delta BHE \sim \Delta DCE \Rightarrow \angle BEH = \angle DEC\)  (2 góc t.ư)

\( \Rightarrow \angle BEH + \angle HED = \angle DEC + \angle HED \Rightarrow \angle BED = \angle HEC\)

Mà \(\angle BED = {90^o}\) (chứng minh trên)

Vậy \(\angle HEC = {90^o}\)