Cho phương trình: \({{x}^{2}}+2(m-1)x-(m+1)=0\). T...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\,(\Delta '>0)\).

- Phương trình có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) đều nhỏ hơn \(2\Leftrightarrow {{x}_{1}}-2<0;\,{{x}_{2}}-2<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & ({{x}_{1}}-2)({{x}_{2}}-2)>0 \\  & \frac{S}{2}<2 \\ \end{align} \right.\).

- Ta biến đổi biểu thức trên về biểu thức có chứa \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\) và \({{x}_{1}}{{x}_{2}}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của \(m\).

- Đối chiếu với điều kiện xác định của \(m\) để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

Cách làm:

Xét phương trình: \({{x}^{2}}+2(m-1)x-(m+1)=0\) ta có:

\(\begin{align}  & \Delta '={{(m-1)}^{2}}+m+1={{m}^{2}}-2m+1+m+1={{m}^{2}}-m+2 \\  & \Delta '\,={{m}^{2}}-2m.\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}={{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}\, \\  & \Delta '>0\,\,\forall m \\ \end{align}\)

Vậy phương trình luôn có hai nhiệm phân biệt \(x{}_{1},\,{{x}_{2}}\) với mọi giá trị của \(m\) .

Từ giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1} - 2 < 0;\,{x_2} - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 2)({x_2} - 2) > 0\\\frac{S}{2} < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2{x_1} - 2{x_2} + 4 > 0\\ - m + 1 < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) + 4 > 0\,\,\,(*)\\m > - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2(m-1) \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-(m+1) \\ \end{align} \right.\) thay vào (*) ta được:

\(\begin{array}{l} - (m + 1) - 2.( - 2)(m - 1) + 4 > 0\\ \Leftrightarrow - m - 1 + 4m - 4 + 4 > 0\\ \Leftrightarrow 3m - 1 > 0\,\,\\ \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}\end{array}\)

Chọn D.