Cho \((P):y=8{{x}^{2}}\)và \((d):y=8x-{{m}^{2}}-1...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P), tính biểu thức \(\Delta '\). Sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức đã cho theo \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}\). Từ đó tìm m.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): \(8{{x}^{2}}=8x-{{m}^{2}}-1\Leftrightarrow 8{{x}^{2}}-8x+{{m}^{2}}+1=0\,\,\,(*)\)

\(\Delta '={{(-4)}^{2}}-8({{m}^{2}}+1)=-8{{m}^{2}}+8=-8({{m}^{2}}-1)\)

TH1. \(\Delta '=0\Leftrightarrow m=\pm 1\) thì phương trình (*) có 2 nghiệm \({{x}_{1}}={{x}_{2}}\)  khi đó \(x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=0\)

Vậy m = \(\pm 1\) thỏa mãn đề bài.

TH2. \(\Delta '>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}<1\Leftrightarrow -1<m<1\). Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\).

Áp dụng hệ thức Vi- et ta có \(\left\{ \begin{matrix}   {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)  \\   {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{m_{{}}^{2}+1}{8}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)  \\\end{matrix} \right.\)

Xét : \(x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 + {x_1}.{x_2}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = \left( {x_1^2 + x_2^2 + {x_1}.{x_2}} \right)\,\,\,\left( {do\,\,\,x{ _1} \ne {x_2}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] = \,{({x_1} + {x_2})^2} - {x_1}.{x_2}\,\,\,\,\,(3)
\end{array}\)

Thay (1) và (2) vào (3) ta có:

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,1.\left( {{1}^{2}}-2.\frac{{{m}^{2}}+1}{8} \right)={{1}^{2}}-\frac{{{m}^{2}}+1}{8} \\& \Leftrightarrow 1-\frac{{{m}^{2}}+1}{4}=1-\frac{{{m}^{2}}+1}{8} \\ & \Leftrightarrow ({{m}^{2}}+1)\left( \frac{1}{8}-\frac{1}{4} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}+1=0 \\\end{align}\)

Phương trình vô nghiệm.

Vậy  \(m=\pm 1\)thỏa mãn đề bài.

Chọn C.