Có bao nhiêu giá trị của $m$ để giá trị nhỏ nhấ...

Có bao nhiêu giá trị của $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)=\left| {{e}^{2x}}-4{{e}^{x}}+m \right|$ trên đoạn $\left[ 0;\ln 4 \right]$ bằng 6 ?

A 3

B 4

C 1

D 2

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hàm bên trong dấu trị tuyệt đối trên đoạn, so sánh các giá trị để tìm min

Giải chi tiết:

Đặt $t={{e}^{x}},$ với $x\in \left[ 0;\ln 4 \right]\Rightarrow t\in \left[ 1;4 \right].$

Khi đó, hàm số trở thành: $g\left( t \right)=\left| {{t}^{2}}-4t+m \right|.$

Xét hàm số $u\left( t \right)={{t}^{2}}-4t+m$ trên $\left[ 1;4 \right],$ có ${u}'\left( t \right)=2t-4=0\Leftrightarrow t=2.$

TH1. $\left\{ \begin{array}{l} \left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\,\,\left| m \right|} \right\}\\ \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( t \right) = \left| {m - 4} \right| = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\,\,\left| m \right|} \right\}\\ \left[ \begin{array}{l} m = 10\\ m = - \,2 \end{array} \right. \end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,m = 10.$

TH2. $\left\{ \begin{array}{l} \left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\,\,\left| m \right|} \right\}\\ \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( t \right) = \left| {m - 3} \right| = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\,\,\left| m \right|} \right\}\\ \left[ \begin{array}{l} m = 9\\ m = - \,3 \end{array} \right. \end{array} \right.\,\, \Rightarrow$ Vô nghiệm.

TH3. $\left\{ \begin{array}{l} \left| m \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\,\,\left| {m - 3} \right|} \right\}\\ \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} g\left( t \right) = \left| m \right| = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| m \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\,\,\left| {m - 3} \right|} \right\}\\ \left[ \begin{array}{l} m = 6\\ m = - \,6 \end{array} \right. \end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,m = - \,6.$