Bất đẳng thức \(\dfrac{1}{{1 + {x^2}}} \geqslant 1...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có \(\dfrac{1}{{1 + {x^2}}} - \left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right) = \dfrac{{2 - \left( {1 + {x^2}} \right)\left( {2 - x} \right)}}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}} = \dfrac{{2 - \left( {2 + 2{x^2} - x - {x^3}} \right)}}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}} = \dfrac{{x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}} = \dfrac{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}}.\)

Để \(\dfrac{1}{{1 + {x^2}}} \geqslant 1 - \dfrac{x}{2}\)đúng thì ta cần \(\dfrac{1}{{1 + {x^2}}} - \left( {1 - \dfrac{x}{2}} \right) \geqslant 0\) hay \(\dfrac{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}} \geqslant 0\,\,\,\left( 1 \right).\)

Do

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\\2\left( {1 + {x^2}} \right) \ge 0\end{array} \right.\)

 nên để \(\left( 1 \right)\) đúng thì ta cần \(x \geqslant 0.\)

Đáp án C.