Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình sau có...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình dạng \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f\left( x \right) =  - g\left( x \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\).

+) Phương trình bậc nhất một ẩn \(ax + b = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{{ - b}}{a}\).

+) Phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta  = 0\).

Giải chi tiết:

\(\left| {2{x^2} - 3x - 2} \right| = 5m - 8x - 2{x^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5m - 8x - 2{x^2} \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}2{x^2} - 3x - 2 = 5m - 8x - 2{x^2}\\2{x^2} - 3x - 2 =  - 5m + 8x + 2{x^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5m - 8x - 2{x^2} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left[ \begin{array}{l}4{x^2} + 5x - 2 - 5m = 0\,\,\,\left( 2 \right)\\11x - 5m + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+) Phương trình (2) có nghiệm duy nhất

\( \Leftrightarrow \Delta  = 0 \Leftrightarrow 25 - 16\left( { - 2 - 5m} \right) = 0 \Leftrightarrow 80m + 57 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 57}}{{80}}\).

Khi đó phương trình (2) có nghiệm kép \(x = \dfrac{{ - 5}}{8}\).

Thay \(m = \dfrac{{ - 57}}{{80}}\) và \(x = \dfrac{{ - 5}}{8}\) vào (1) ta có: \(5.\dfrac{{ - 57}}{{80}} - 8.\dfrac{{ - 5}}{8} - 2{\left( {\dfrac{{ - 5}}{8}} \right)^2} = \dfrac{{21}}{{32}} > 0 \Rightarrow tm\left( 1 \right)\)

Thay \(m = \dfrac{{ - 57}}{{80}}\) và \(x = \dfrac{{ - 5}}{8}\) vào (2) ta có: \(11.\dfrac{{ - 5}}{8} - 5.\dfrac{{ - 57}}{{80}} + 2 = \dfrac{{ - 21}}{{16}} \ne 0 \Rightarrow ktm\left( 2 \right)\)

\( \Rightarrow \) Khi \(m = \dfrac{{ - 57}}{{80}}\) thì phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất.

+) Phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{{5m - 2}}{{11}}\), nghiệm này thỏa mãn (1)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5m - 8.\dfrac{{5m - 2}}{{11}} - 2{\left( {\dfrac{{5m - 2}}{{11}}} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 605m - 440m + 176 - 50{m^2} + 40m - 8 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - 50{m^2} + 205m + 168 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{7}{{10}} \le m \le \dfrac{{24}}{5}\end{array}\)

Ta có \(\Delta  = 80m + 57\), với \( - \dfrac{7}{{10}} \le m \le \dfrac{{24}}{5} \Rightarrow \Delta  > 0 \Rightarrow \) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Khi đó phương trình ban đầu không có nghiệm duy nhất (loại).

Vậy \(m = \dfrac{{ - 57}}{{80}}\).

Chọn B.